Существование двух прилагательных - русский и российский - связано с разнобоем в наименовании страны (Русь и Россия).
Форма с корнем рос- была совершенно неизвестна на Руси вплоть до 15 в. Её истоки следует искать в византийских документах, возможно уже с конца 7 в. Первое наиболее достоверное свидетельство - сообщение немецких "Бертинских анналов" под 838 г. о прибытии из Византии людей народа Rhos ко двору императора Людовика в Ингельсгейм. Арабские же источники с 9 по 11 в. и позже называют страну Rusiya, её народ - Rus (всегда с долгим u). Имя Россия впервые появляется в середине 10 в. у Константина Багрянородного, оно возникло по образцу греческих и латинских названий других стран с суффиксом ia. В средневековых западных источниках с 11 в. повсюду употребляются названия Russia, Ruscia, Ruzzia, реже Ruthenia, но иногда их авторы под византийским влиянием употребляют и имя Rossia.
Однако все русские памятники 11-14 вв. за редчайшим исключением употребляют названия Русь, русин, Русская земля. Византийские формы Рос- / Россия остаются чуждыми русскому языку. Но с середины 15 в. увлечение классицизмом привело к тому, что стали объяснять истоки русского народа связью с роксоланами, росанами. В русской письменности 15-16 вв. появились новые формы Росия, Росея, а в первой половине 17 в. в Московской Руси окончательно утвердились византийские термины Росийское царство, Великая Росия, Малая Росия, а также еще более книжные формы росский и росс, возникшие под греческим влиянием. Отсюда употребление прилагательного российский для определения языка. В высоком "штиле" слова Россия, росс господствовали (например, произведения Ломоносова "О сомнительном произношении буквы Г в российском языке", "Российская грамматика"). Лишь начиная с произведений Н.М. Карамзина возрождается народная форма прилагательного руской. В начале 19 в. выражения росс, росский уже явно ощущались как архаические, а прилагательное русский стало постепенно вытеснять российский в роли этнического определения языка. Теперь прилагательное российский закреплено только за характеристикой государственной принадлежности (но ср. также вполне допустимое российские языки - о языках народов России).

Правильно:
Русский язык, русская литература, русские пословицы и поговорки, русская душа.